2024年国赛B题解题思路

问题 1: 抽样检测方案设计

【题目分析】

分析：

• 目标是设计一个高效的抽样检测方案，在尽量少的样本数量下，确保在高信度水平下做出正确的接受或拒收决策。
• 需要处理两个不同的信度要求，这对样本量的计算提出了挑战。

思路：

• 贝叶斯抽样优化：可以使用贝叶斯方法结合贝叶斯抽样优化（Bayesian Optimization）来动态调整样本量，以达到所需的信度水平。通过将次品率建模为贝叶斯后验分布，可以逐步减少样本量，同时保证决策的可靠性。
• 自适应序贯抽样：使用逐步抽样方法，根据初始样本的检测结果动态调整后续样本量，优化检测成本和时间。
• 蒙特卡洛模拟：模拟大量的抽样检测场景，估计在不同样本量下达成信度要求的概率，找到最小样本量的解决方案。

【解题思路】

目标

设计一个抽样检测方案，以确定是否接受供应商提供的零配件，要求在尽可能少的检测次数下达到两个信度标准：

1. 在 95% 信度下认定零配件次品率超过标称值（拒收）。
2. 在 90% 信度下认定零配件次品率不超过标称值（接收）。

建模过程

1. 定义变量和假设

• • 设次品率为p ，标称次品率为p0=0.10 （即10%）。
  • 抽样样本量为n ，检测出次品的数量为 x。
  • 我们需要对p  进行假设检验，并根据检验结果决定是否接受或拒收。

    2. 抽样检测模型

• 根据二项分布，我们有 。
• 检验假设：

原假设

备择假设（用于拒收的情况）

• 使用正态近似来简化问题，当 n较大时， 可近似为正态分布：

• 标准化后的检测统计量为：

3. 检验条件

• 我们设定显著性水平α  对应的信度为1-α 。
• 对于拒收情况，信度为 95%，则 α=0.05。
• 计算临界值：，其中为标准正态分布的逆函数。
• 对于接收情况，信度为 90%，则 α=0.10。

4. 计算样本量n

• • 拒收的决策规则：若 Z＞Z0.05，则拒收。
  • 结合样本量的计算公式，我们得到：

• 通过展开可以得到对 n 的不等式：

• 为简化计算，可以迭代求解n。

5. 智能优化算法引入

• 为了优化样本量 n，引入贝叶斯优化。贝叶斯优化是一种基于高斯过程（Gaussian Process）的黑箱优化方法，可以在不确定的环境下高效找到最优参数。
• 步骤：
  1. 定义目标函数：最小化检测成本 ，其中 c 为单次检测成本。
  2. 目标函数中包含信度约束，使用贝叶斯优化逐步逼近最优的 n。
  3. 通过模拟不同的样本量 n，评估在95%和90%信度下的检测成功率，并调整 n 使得目标函数最小。

6. 贝叶斯优化流程

• • 初始化样本集，随机选择 n0 的样本量进行检测，计算检测成本。
  • 使用高斯过程拟合当前的检测结果。
  • 通过高斯过程预测新的 n，并计算期望改进（Expected Improvement, EI）。
  • 选择使期望改进最大的 n 作为下一步的检测样本量。
  • 更新高斯过程模型，重复迭代，直到找到满足信度约束且成本最低的样本量n* 。

7. 最终方案

• 通过贝叶斯优化得到的最优样本量 n*，将其应用于实际的检测流程中，以确保在满足信度要求的情况下尽可能减少检测次数。

公式总结

检测统计量：

临界值条件：Z＞Z0.05拒收，Z＜Z0.10接受

样本量不等式：

目标函数最小化：

【Python参考代码】

# 定义检测成本函数
def detection_cost(n, c):
    return n * c

# 定义统计检验函数
def hypothesis_test(n, p0, alpha, x):
    # 计算标准化的Z统计量
    p_hat = x / n
    Z = (p_hat - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
    # 计算临界值
    Z_alpha = norm.ppf(1 - alpha)
    return Z, Z_alpha

# 定义目标函数，贝叶斯优化用
def objective(n):
    n = int(n[0])  # 样本量必须是整数
    c = 2  # 单次检测成本设为2元（可以根据具体情况调整）
    p0 = 0.10  # 标称次品率
    alpha_reject = 0.05  # 拒收信度为95%
    alpha_accept = 0.10  # 接收信度为90%

    # 模拟检测x个次品

    x = binom.rvs(n, p0)  # 假设次品率刚好为标称值

    # 进行拒收和接收检验
    Z_reject, Z_alpha_reject = hypothesis_test(n, p0, alpha_reject, x)
    Z_accept, Z_alpha_accept = hypothesis_test(n, p0, alpha_accept, x)

    # 判断是否满足信度条件
    if Z_reject > Z_alpha_reject and Z_accept < Z_alpha_accept:
        # 若同时满足拒收和接收信度要求，则计算成本
        cost = detection_cost(n, c)
    else:
        # 若不满足信度要求，则设为较高的惩罚成本
        cost = detection_cost(n, c) + 1000  # 惩罚项

    return cost

from skopt.space import Real, Integer

# 定义优化参数空间
param_space = [Integer(10, 1000, name='n')]

# 使用贝叶斯优化进行最小化
result = gp_minimize(objective, param_space, n_calls=50, random_state=0)

# 输出最优样本量和最小检测成本
print(f"Optimal sample size: {result.x[0]}")
print(f"Minimum detection cost: {result.fun}")
# 绘制优化过程的收敛情况
plot_convergence(result)
plt.title('Convergence Plot of Bayesian Optimization')
plt.xlabel('Number of Calls')
plt.ylabel('Objective Function Value (Cost)')
plt.grid(True)
plt.show()

# 绘制样本量与检测成本的关系
sample_sizes = np.arange(10, 1000, 10)
costs = [objective([n]) for n in sample_sizes]

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(sample_sizes, costs, '-o', markersize=4, color='b', label='Detection Cost')
plt.axvline(result.x[0], color='r', linestyle='--', label=f'Optimal Sample Size: {result.x[0]}')
plt.title('Detection Cost vs. Sample Size')
plt.xlabel('Sample Size')
plt.ylabel('Detection Cost')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()